[고등 공통수학2] 직선의 방정식: 곡선과 직선 사이의 거리의 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 거리의 최솟값을 찾는 방법: '평행한 접선'

이차함수 그래프 위의 점과 외부의 직선 사이의 거리가 가장 짧아지는 순간은 언제일까요? 바로 주어진 직선을 이차함수 그래프 쪽으로 평행하게 이동시켰을 때, 그래프와 가장 먼저 맞닿는 순간(접할 때)입니다. 따라서 주어진 직선과 기울기가 같은 접선의 방정식을 구한 뒤, 두 평행선 사이의 거리를 계산하면 그것이 곧 거리의 최솟값이 됩니다.

💡 거리의 최솟값 구하는 법

• [Step 1] 평행한 접선 세우기: 주어진 직선과 평행하므로 기울기가 같습니다. 접선의 방정식을 $y = mx + k$ ($m$은 주어진 기울기)로 놓습니다.
• [Step 2] 판별식 $D=0$ 활용: 이차함수 식과 접선의 식을 연립하여 만든 이차방정식에서 판별식 $D=0$을 이용해 미지수 $k$를 구합니다.
• [Step 3] 두 평행선 사이의 거리 계산: 평행한 두 직선 $ax+by+c=0$과 $ax+by+c'=0$ 사이의 거리 공식 $d = \frac{|c - c'|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 을 이용하여 최종 최솟값을 계산합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[평행한 접선의 방정식 세우기]
주어진 직선 $y = -4x - 19$ 의 기울기가 $-4$이므로, 거리가 최소가 되는 접선의 방정식도 기울기가 $-4$입니다.
접선의 방정식을 $y = -4x + k$ 라고 합시다.

[판별식을 이용하여 $k$값 구하기]
이차함수 $y = (x+3)^2 + 1$을 전개하면 $y = x^2 + 6x + 10$ 입니다.
이차함수와 접선이 한 점에서 만나야 하므로 두 식을 연립합니다.
$$ x^2 + 6x + 10 = -4x + k $$
좌변으로 모두 이항하여 정리하면,
$$ x^2 + 10x + (10 - k) = 0 $$
이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식(짝수 공식) $\frac{D}{4} = 0$ 이어야 합니다.
$$ \frac{D}{4} = 5^2 - 1 \cdot (10 - k) = 0 $$
$$ 25 - 10 + k = 0 $$
$$ 15 + k = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{k = -15} $$
따라서 접선의 방정식은 $y = -4x - 15$ 이며, 일반형으로 정리하면 $4x + y + 15 = 0$ 입니다.

[두 평행선 사이의 거리 구하기]
최솟값은 원래 직선 $4x + y + 19 = 0$ 과 접선 $4x + y + 15 = 0$ 사이의 거리와 같습니다.
평행선 사이의 거리 공식을 이용하면,
$$ d = \frac{|19 - 15|}{\sqrt{4^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{17}} $$
분모를 유리화하면 최종 거리가 나옵니다.
$$ d = \mathbf{\frac{4\sqrt{17}}{17}} $$

정답

④ $\frac{4\sqrt{17}}{17}$

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