[고등 공통수학2] 직선의 방정식: 세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건 연습문제 프린트 학습지

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1. 세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건 핵심 개념

서로 다른 세 직선이 평면상에 그려질 때 삼각형이 만들어지지 않는 경우는 크게 두 가지뿐입니다. 첫째, 세 직선 중 적어도 두 직선이 서로 평행한 경우입니다. 둘째, 세 직선이 모두 한 점에서 만나는(교차하는) 경우입니다. 완벽하게 식이 주어진 두 직선의 교점을 먼저 찾고 기울기를 비교하는 것이 풀이의 핵심입니다.

💡 k의 값 구하는 방법

• [Step 1] 모든 직선을 표준형으로 정리: 기울기를 쉽게 비교할 수 있도록 세 직선의 방정식을 $y = mx + n$ 형태로 바꿉니다.
• [Step 2] 두 직선이 평행할 조건 계산: 미지수 $k$를 가진 직선이 나머지 두 직선 중 하나와 기울기가 같아지도록 하는 $k$ 값을 각각 찾습니다.
• [Step 3] 세 직선이 한 점에서 만날 조건 계산: 식이 완벽하게 주어진 두 직선의 교점 좌표를 연립방정식으로 구한 뒤, 미지수가 있는 세 번째 직선의 식에 대입하여 남은 $k$ 값을 찾습니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[세 직선의 표준형 변환 및 기울기 파악]
세 직선의 방정식을 $y$에 대하여 정리해 봅시다.
① $x - y - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = x - 9$ (기울기: $1$)
② $2x + 5y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{2}{5}x - \frac{3}{5}$ (기울기: $-\frac{2}{5}$)
③ $y = kx - 4$ (기울기: $k$)

[Case 1: 두 직선이 평행할 조건]
직선 ③이 직선 ① 또는 직선 ②와 평행하면 삼각형이 만들어지지 않습니다.
* 직선 ③과 직선 ①이 평행할 때: $\mathbf{k = 1}$
* 직선 ③과 직선 ②가 평행할 때: $\mathbf{k = -\frac{2}{5}}$

[Case 2: 세 직선이 한 점에서 만날 조건]
직선 ①과 직선 ②의 교점을 직선 ③이 지나가면 삼각형이 만들어지지 않습니다. 먼저 ①, ②를 연립합니다.
$x - y - 9 = 0$ 에서 $x = y + 9$를 두 번째 식에 대입합니다.
$$ 2(y + 9) + 5y + 3 = 0 $$ $$ 2y + 18 + 5y + 3 = 0 $$ $$ 7y + 21 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -3 $$ $y = -3$을 $x = y + 9$에 대입하면 $x = 6$입니다. 즉, 교점의 좌표는 $(6, -3)$입니다.

이 교점을 직선 ③ $y = kx - 4$에 대입하여 $k$를 구합니다.
$$ -3 = 6k - 4 $$ $$ 6k = 1 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{k = \frac{1}{6}} $$

[모든 k의 값의 합 구하기]
구해진 세 개의 $k$ 값을 모두 더해줍니다. 분모를 30으로 통분하여 계산합니다.
$$ 1 + \left( -\frac{2}{5} \right) + \frac{1}{6} = \frac{30}{30} - \frac{12}{30} + \frac{5}{30} = \mathbf{\frac{23}{30}} $$

정답

② $\frac{23}{30}$

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