[고등 공통수학2] 직선의 방정식: 정점을 지나는 직선과 사분면 조건 연습문제 프린트 학습지

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1. 움직이는 직선의 비밀: $m$에 관계없이 지나는 '정점' 찾기

직선의 방정식에 미지수 $m$이 포함되어 있다면, 이 직선은 $m$의 값에 따라 기울기와 $y$절편이 변하며 마구잡이로 움직이는 것처럼 보입니다. 하지만 식을 $m$에 대하여 묶어보면($m$에 대한 항등식 원리 적용), $m$이 어떤 값이든 상관없이 반드시 지나가는 고정된 점(정점)을 발견할 수 있습니다. 이 정점을 찍고 좌표평면에서 선을 회전시켜보는 것이 사분면 교점 문제의 핵심입니다.

💡 정점을 지나는 직선 활용법

• [Step 1] 완벽한 직선의 경계 구하기: 미지수가 없는 멀쩡한 직선의 $x$절편과 $y$절편을 구하여 좌표평면에 그리고, 교점이 발생해야 하는 목표 사분면의 선분(경계)을 확인합니다.
• [Step 2] $m$으로 묶어 정점 찾기: 미지수 $m$이 있는 직선의 식을 $m(\dots) + (\dots) = 0$ 형태로 정리하여 고정된 점 $(x_1, y_1)$을 구합니다.
• [Step 3] 경계점에서의 기울기 구하기: Step 2에서 찾은 정점과 Step 1에서 찾은 절편(경계점)들을 연결할 때의 기울기 $m$을 각각 구하여 범위를 설정합니다. (주의: $x$축, $y$축은 어느 사분면에도 속하지 않으므로 부등호에 등호(=)를 반드시 빼야 합니다!)

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[1단계: 고정된 직선의 제4사분면 경계 확인하기]
직선 $2x - 2y - 4 = 0$ 을 정리하면 $y = x - 2$ 입니다.
* $x$절편은 $(2, 0)$
* $y$절편은 $(0, -2)$
이 직선이 제4사분면을 지나는 구간은 점 $(2, 0)$과 점 $(0, -2)$를 연결하는 선분 위입니다. (단, 두 축 위의 점은 사분면에 포함되지 않으므로 양 끝점은 제외합니다.)

[2단계: 미지수가 있는 직선의 정점 구하기]
직선 $mx - y + 3m + 3 = 0$ 을 $m$에 대하여 묶어줍니다.
$$ m(x + 3) - (y - 3) = 0 $$ 이 식이 $m$의 값에 관계없이 항상 성립하려면 괄호 안이 모두 $0$이어야 합니다.
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
$y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3$
따라서 이 직선은 $m$의 값에 상관없이 항상 고정된 점 $(-3, 3)$을 지납니다. 또한 식을 $y = m(x+3) + 3$으로 보면, $m$은 이 직선의 기울기임을 알 수 있습니다.

[3단계: 교점 발생을 위한 기울기 $m$의 범위 구하기]
정점 $(-3, 3)$을 지나는 직선이 제4사분면에 있는 선분(양 끝점 제외)과 만나려면 기울기 $m$이 다음 두 경계선의 기울기 사이에 있어야 합니다.

① 점 $(2, 0)$을 지날 때의 기울기:
$$ m = \frac{0 - 3}{2 - (-3)} = \mathbf{-\frac{3}{5}} $$ ② 점 $(0, -2)$를 지날 때의 기울기:
$$ m = \frac{-2 - 3}{0 - (-3)} = \mathbf{-\frac{5}{3}} $$ 두 직선이 제4사분면에서 만나려면, 기울기 $m$은 이 두 값 사이에 존재해야 합니다.
$$ -\frac{5}{3} < m < -\frac{3}{5} $$

[4단계: 최종 정답 구하기]
문제에서 구한 범위가 $a < m < b$ 이므로, $a = -\frac{5}{3}$, $b = -\frac{3}{5}$ 입니다.
따라서 $a + b$의 값은 다음과 같습니다.
$$ a + b = -\frac{5}{3} + \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{25}{15} - \frac{9}{15} = \mathbf{-\frac{34}{15}} $$

정답

② $-\frac{34}{15}$

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