[고등 공통수학II] 점과 좌표: 두 점 사이의 거리와 근과 계수의 관계 연습문제 프린트 학습지

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1. 좌표평면 위 두 점 사이의 거리와 '이차방정식'의 만남

좌표평면에서 두 점 $A(x_1, y_1)$과 $B(x_2, y_2)$ 사이의 거리 공식은 피타고라스 정리를 이용한 $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 입니다. 이 식을 전개하면 미지수에 대한 이차방정식이 만들어지는데, 문제에서 '모든 값의 합'이나 '모든 값의 곱'을 물어본다면 근의 공식으로 직접 근을 구하지 말고 '근과 계수의 관계'를 이용하는 것이 편리합니다.

💡 거리 공식을 이용해 미지수 구하는 법

• [Step 1] 거리 공식 세우기: 주어진 두 점의 좌표를 점과 점 사이의 거리 공식에 그대로 대입합니다.
• [Step 2] 양변 제곱하여 근호 벗기기: 계산을 편리하게 하기 위해 양변을 제곱하여 식에서 루트($\sqrt{\quad}$)를 없애고 전개합니다.
• [Step 3] 이차방정식 정리 및 근과 계수의 관계 적용: 한쪽으로 항을 모두 이항하여 $Aa^2 + Ba + C = 0$ 꼴로 정리합니다. 두 근의 곱을 묻는다면 $\frac{C}{A}$를 계산하여 마무리합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

주어진 두 점은 $A(1, 2a)$, $B(-2a, -2)$ 이고, 거리는 $\sqrt{21}$ 입니다.

[1단계: 두 점 사이의 거리 공식 적용]
점 $A$와 점 $B$ 사이의 거리 $AB$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ AB = \sqrt{(-2a - 1)^2 + (-2 - 2a)^2} = \sqrt{21} $$

[2단계: 양변 제곱 및 식 전개하기]
루트를 없애기 위해 양변을 제곱합니다.
$$ (-2a - 1)^2 + (-2 - 2a)^2 = 21 $$ 마이너스 부호가 많아 헷갈릴 수 있으므로 괄호 안의 부호를 플러스로 바꾸어 전개하면 실수를 줄일 수 있습니다.
$(-2a - 1)^2 = (2a + 1)^2$ 이고, $(-2 - 2a)^2 = (2a + 2)^2$ 와 같습니다.
$$ (2a + 1)^2 + (2a + 2)^2 = 21 $$ $$ (4a^2 + 4a + 1) + (4a^2 + 8a + 4) = 21 $$

[3단계: 이차방정식 정리 및 근과 계수의 관계 활용]
동류항끼리 계산하여 식을 간단히 정리합니다.
$$ 8a^2 + 12a + 5 = 21 $$ 상수항을 좌변으로 이항합니다.
$$ 8a^2 + 12a - 16 = 0 $$ 양변을 $4$로 나누어 약분합니다.
$$ 2a^2 + 3a - 4 = 0 $$ 문제에서 요구하는 것은 방정식을 만족하는 '모든 $a$의 값의 곱'입니다. 직접 인수분해가 되지 않더라도 당황하지 말고 이차방정식의 근과 계수의 관계($\alpha\beta = \frac{c}{a}$)를 이용합니다.
$$ \text{모든 } a\text{의 값의 곱} = \frac{-4}{2} = \mathbf{-2} $$

정답

③ $-2$

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