[고등 공통수학2] 점과 좌표: 선분의 내분점 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 선분의 내분점 구하기 개념

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$과 $\mathrm{B}(x_2, y_2)$에 대하여, 선분 $\mathrm{AB}$를 $m : n$ (단, $m>0, n>0$)으로 내분(안에서 나눔)하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 다음 공식을 이용하여 구합니다.

$$ \mathrm{P} \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) $$

💡 내분점 좌표 구하는 방법

• [Step 1] $x$좌표, $y$좌표 분리하기: 계산의 실수를 줄이기 위해 $x$좌표는 $x$좌표끼리, $y$좌표는 $y$좌표끼리 나누어서 생각합니다.
• [Step 2] 엇갈려서 곱하기 (크로스): 비율 $m:n$과 점의 좌표를 곱할 때, $m$은 뒤의 점에, $n$은 앞의 점에 엇갈려서 곱해주는 것이 가장 중요합니다.
• [Step 3] 공식에 대입하여 계산: 분모는 비율의 합 $(m+n)$으로, 분자는 엇갈려 곱한 값의 합으로 계산하여 좌표를 완성합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

문제에서 주어진 조건은 다음과 같습니다.
두 점: $\mathrm{A}(4, 0)$, $\mathrm{B}(-4, 4)$
내분 비율: $m : n = 1 : 4$

[점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표 구하기]
$x$좌표만 떼어내서 공식에 대입합니다. $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $4$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $-4$입니다.
$$ x = \frac{1 \times (-4) + 4 \times 4}{1 + 4} $$ $$ x = \frac{-4 + 16}{5} = \mathbf{\frac{12}{5}} $$

[점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표 구하기]
이번에는 $y$좌표만 떼어내서 공식에 대입합니다. $\mathrm{A}$의 $y$좌표는 $0$, $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 $4$입니다.
$$ y = \frac{1 \times 4 + 4 \times 0}{1 + 4} $$ $$ y = \frac{4 + 0}{5} = \mathbf{\frac{4}{5}} $$

[점 $\mathrm{P}$의 최종 좌표]
구해진 $x$좌표와 $y$좌표를 묶어주면 내분점 $\mathrm{P}$의 좌표가 완성됩니다.
$$ \mathrm{P} \left( \frac{12}{5}, \frac{4}{5} \right) $$

정답

$\mathrm{P} \left( \frac{12}{5}, \frac{4}{5} \right)$

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