[고등 확률과 통계] 확률: 조건부확률과 독립시행(7전 4선승제) 연습문제 프린트 학습지

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1. 우승 시리즈 확률의 두 가지 함정: '마지막 경기'와 '조건부'

스포츠 경기에서 $n$차전 만에 우승할 확률을 구할 때 가장 흔한 실수는 단순하게 독립시행 공식(${_n}\mathrm{C}_{r}p^rq^{n-r}$)만 적용하는 것입니다. 우승이 확정되는 '마지막 경기'는 무조건 승리해야 하므로, 그 직전 경기까지만 독립시행을 적용해야 합니다. 또한, "~할 때, ~일 확률"이라는 문장이 보인다면 이는 조건부확률이므로 분모에 해당하는 사건을 정확히 설정해야 합니다.

💡 시리즈 우승 조건부확률 구하는 법

• [Step 1] 마지막 경기는 고정!: $k$차전에서 우승한다면, $(k-1)$차전까지 남은 필요 승수에서 1승을 뺀 만큼 승리하고, $k$차전 당일에는 100% 확률로 승리해야 합니다.
• [Step 2] 전제조건(분모) 구하기: 문제에서 주어진 전제조건 ("A팀이 최종적으로 우승하였을 때")을 만족하는 모든 가능한 시나리오의 확률을 구해 모두 더합니다.
• [Step 3] 조건부확률 계산하기: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 공식에 따라, $\frac{\text{원하는 시나리오의 확률}}{\text{전체 우승 시나리오의 확률}}$을 계산합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

이 문제는 "최종적으로 A팀이 우승하였을 때 (사건 X)"를 전제로 깔고, "4차전까지 경기를 치르고 우승했을 (사건 Y)" 확률을 구하는 전형적인 조건부확률 $P(Y|X)$ 문제입니다.

A팀의 승리 확률 $p = \frac{5}{6}$, B팀의 승리 확률 $q = \frac{1}{6}$ 입니다. 현재 A팀이 1승을 선취했으므로, A팀은 3승만 더 추가하면 우승합니다.

[1단계: 분모가 될 'A팀이 우승하는 모든 경우의 수' 구하기]
A팀이 남은 경기에서 3승을 채우는 경우는 총 경기 수가 4차전, 5차전, 6차전, 7차전인 4가지 상황이 있습니다.

① 4차전에서 우승 (3경기 3연승):
$$ P_4 = \left(\frac{5}{6}\right)^3 $$ ② 5차전에서 우승 (3경기 중 2승 1패 후, 5차전 승리):
$$ P_5 = {}_{3}\mathrm{C}_{2} \left(\frac{5}{6}\right)^2 \left(\frac{1}{6}\right)^1 \times \frac{5}{6} = 3 \left(\frac{5}{6}\right)^3 \left(\frac{1}{6}\right) $$ ③ 6차전에서 우승 (4경기 중 2승 2패 후, 6차전 승리):
$$ P_6 = {}_{4}\mathrm{C}_{2} \left(\frac{5}{6}\right)^2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \frac{5}{6} = 6 \left(\frac{5}{6}\right)^3 \left(\frac{1}{6}\right)^2 $$ ④ 7차전에서 우승 (5경기 중 2승 3패 후, 7차전 승리):
$$ P_7 = {}_{5}\mathrm{C}_{2} \left(\frac{5}{6}\right)^2 \left(\frac{1}{6}\right)^3 \times \frac{5}{6} = 10 \left(\frac{5}{6}\right)^3 \left(\frac{1}{6}\right)^3 $$

[2단계: 확률식 묶어서 간단히 계산하기]
A팀이 우승할 전체 확률 $P(X) = P_4 + P_5 + P_6 + P_7$ 입니다. 계산을 쉽게 하기 위해 공통 인수인 $\left(\frac{5}{6}\right)^3$ 으로 묶어줍니다.
$$ P(X) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \left[ 1 + 3\left(\frac{1}{6}\right) + 6\left(\frac{1}{36}\right) + 10\left(\frac{1}{216}\right) \right] $$ 괄호 안의 식을 분모 108로 통분하여 계산합니다.
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{5}{108} = \frac{108 + 54 + 18 + 5}{108} = \frac{185}{108} $$ 따라서, 전체 우승 확률 $P(X) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \times \frac{185}{108}$ 입니다.

[3단계: 조건부확률 적용하기]
우리가 구하고자 하는 확률은 A가 우승했을 때, 그것이 4차전이었을 확률이므로 $\frac{P_4}{P(X)}$ 입니다.
$$ \frac{P_4}{P(X)} = \frac{\left(\frac{5}{6}\right)^3}{\left(\frac{5}{6}\right)^3 \times \frac{185}{108}} $$ 분모 분자에서 $\left(\frac{5}{6}\right)^3$ 이 약분되므로, $$ = \frac{1}{\frac{185}{108}} = \mathbf{\frac{108}{185}} $$

정답

② $\frac{108}{185}$

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