[고등 확률과통계] 조건부확률: 조건이 주어졌을 때의 확률 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 조건부확률을 푸는 마법의 열쇠: '경로의 비율'

조건부확률은 '어떤 사건이 이미 일어났을 때'라는 전제가 붙습니다. 즉, 전체 확률의 기준이 $1$이 아니라, '특정 결과가 나온 모든 경우의 확률의 합'으로 축소됩니다. 결과가 나온 전체 경로 중 우리가 궁금해하는 특정 경로가 차지하는 비율을 구하는 것이 핵심입니다.

💡 조건부확률 구하는 법

• [Step 1] 결과 사건(E) 정의하기: 문제에서 "~일 때"에 해당하는 최종 결과를 확인합니다.
• [Step 2] 각 경로별 확률 구하기: 그 결과가 나올 수 있는 모든 독립적인 경로(예: A에서 일어날 확률, B에서 일어날 확률)를 나누어 각각 계산합니다.
• [Step 3] 비율로 계산하기: $\frac{\text{우리가 알고 싶은 특정 경로의 확률}}{\text{결과가 나온 모든 경로 확률의 합}}$ 형태로 식을 세워 계산합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[조건 및 기호 설정]
* 두 주머니 중 하나를 임의로 선택하므로, 주머니 $\text{A}$를 택할 확률 $P(A) = \frac{1}{2}$
* 주머니 $\text{B}$를 택할 확률 $P(B) = \frac{1}{2}$
* 꺼낸 2개의 젤리가 모두 포도맛인 결과 사건을 $E$라고 합시다.

[각 경로별 확률 구하기]
경로 1: 주머니 A를 택하고, 포도맛 2개를 꺼낼 확률 $P(A \cap E)$
주머니 $\text{A}$에는 총 7개(딸기 5개, 포도 2개)가 있습니다. $$ P(A \cap E) = P(A) \times P(E|A) = \frac{1}{2} \times \frac{{}_2\mathrm{C}_2}{{}_7\mathrm{C}_2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{21} = \frac{1}{42} $$
경로 2: 주머니 B를 택하고, 포도맛 2개를 꺼낼 확률 $P(B \cap E)$
주머니 $\text{B}$에는 총 8개(딸기 5개, 포도 3개)가 있습니다. $$ P(B \cap E) = P(B) \times P(E|B) = \frac{1}{2} \times \frac{{}_3\mathrm{C}_2}{{}_8\mathrm{C}_2} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{28} = \frac{3}{56} $$
[조건부확률 계산]
우리가 구해야 하는 것은 '모두 포도맛 젤리($E$)일 때, 그것이 주머니 $\text{B}$에서 나왔을 확률'인 $P(B|E)$입니다. $$ P(B|E) = \frac{P(B \cap E)}{P(E)} = \frac{P(B \cap E)}{P(A \cap E) + P(B \cap E)} $$
각각 구한 확률을 대입하고, 분모를 168로 통분하여 계산합니다. $$ = \frac{\frac{3}{56}}{\frac{1}{42} + \frac{3}{56}} = \frac{\frac{9}{168}}{\frac{4}{168} + \frac{9}{168}} = \frac{9}{13} $$

정답

④ $\frac{9}{13}$

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