명제 p는 q이기 위한 충분조건, 필요조건, 필요충분조건 구하기 연습문제(+절댓값이 포함된 부등식의 해를 구하는 원리)

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.clicker.smartnfast&hl=en-KR

Auto Clicker - SmartNFast – Apps on Google Play

명제 p는 q이기 위한 충분조건, 필요조건, 필요충분조건 구하기 연습문제

 이 문제는 각각의 조건 p와 q를 만족하는 진리집합 P, Q의 포함관계로 충분조건과 필요조건을 찾는 문제입니다. 

크게 3가지 유형이 있는데요, 

 

1) P⊂Q 이면 p는 q이기 위한 충분조건

2) Q⊂P 이면 p는 q이기 위한 필요조건

3) P=Q 이면 p는 q이기 위한 필요충분조건

 

이때 주의해야할 것은 충분조건이라고 말하기 위해서는 P⊂Q 는 참이지만 Q⊂P 는 거짓이어야 한다는거에요. 다시 말해서 충분조건, 필요조건 모두 역인 명제의 참과 거짓도 확인을 해야 한답니다.

진리집합 P와 진리집합 Q의 원소를 보고 포함관계 혹은 일치 여부를 확인하면 됩니다. 

 

(1) 문제에서 절댓값이 등장하는데요, |x| ≤ 3 이 무슨 뜻일까요. |x| 의 정의에 의하면 어떤 수직선이 있을 때, 원점에서부터 x값이 대응되는 점까지의 거리를 나타내요. 그림으로 나타내면 다음과 같아요. 

 

|-3| = 3 이라는 값으로 알고 있죠? 바로 위 그림처럼 0부터 -3까지의 거리가 3이기 때문이랍니다. 

그럼 |x| ≤ 3 를 만족하는 x는 무엇일까요? 수직선에서 원점부터 x값이 대응되는 점까지의 거리가 3보다 작거나 같다라는 뜻인데요. 그림을 보면서 이해해볼까요?

자, 질문을 여러번 할 텐데요, 대답을 같이 해볼게요. 

|x|=1 을 만족시키는 x값을 구하는 문제가 있다고 해볼게요. 이미 공식처럼 x=1,-1 로 알고 있지만, 정의를 다시 되새기면서 수직선을 보면서 문제를 풀어볼게요. |x|가 무슨 뜻이었죠? 수직선의 원점에서부터 x까지의 거리죠. 그럼 다음 그림에서 x의 위치가 어디인지 알 수 있어요.

위 그림처럼 빨간 점에 x에 대응되면 식을 만족한다는 것을 알 수 있죠. 그러므로 x=1 또는 x=-1 이 |x|=1의 해가 됩니다. 

그럼 부등식은 어떻게 풀까요? 

만약 |x|<1 이라는 절댓값이 포함된 부등식을 푼다고 할 때, 위 그림처럼 빨간점의 위치에 x가 있다면 |x|<1 의 해가 될 수 있을까요? 원점으로부터 거리(|x|)가 1보다 작으면 성립하므로 위 그림도 성립하는게 맞아요. 그렇다면 x의 위치가 저 점하나 뿐일까요? 아니겠죠. 다른 점들도 있을거에요. 

수직선의 -1보다 크고 1보다 작은 영역의 모든 점들은 |x|<1를 만족하는 x의 값으로서 콕 집어서 해를 말할 수 없기 때문에 부등식으로 해를 나타내면 다음과 같아요. 

이런 원리에 의하여 |x|≤3 을 수직선에 나타내보면 다음과 같아요. 

 

이렇게 |x|≤3 이 -3 ≤x ≤3 이 되는 과정을 눈으로 직접 보면서 확인해보았어요. 

개념을 설명하다보니 내용이 많이 길어졌는데요, 

 

아래는 문제 풀이입니다. 

이해가 잘 되셨길 바라구요, 혹시 이해가 안가는 부분이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

좋은 하루되세요~

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.clicker.smartnfast&hl=en-KR

Auto Clicker - SmartNFast – Apps on Google Play