그림을 보고 역함수가 존재하는 함수 찾기 연습문제 프린트 학습지

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그림을 보고 역함수가 존재하는 함수 찾기 연습문제 프린트 학습지

역함수가 존재하기 위해서는 '일대일대응'조건을 만족해야 합니다. 

일대일대응 조건은

 

1) 일대일함수

2) 치역=공역

 

두 가지 조건을 만족해야 하는데요, 일대일함수는 

x1≠x2이면 f(x1)≠f(x2)를 만족하는 함수를 말해요. x1, x2는 집합 X의 원소로서 각기 다른 집합 X의 원소가 각기 다른 집합 Y의 원소에 대응되는 것을 말합니다. 그림으로 표현하면 화살표가 각기 다른 수에 대응되면 일대일함수라고 할 수 있어요. 

일대일 함수는 다음 그림과 같이 서로 다른 원소에 대응되어야 하는거에요. 

일대일함수는 각기 다른 원소에 대응만하면 만족하므로 치역과 공역이 같을 필요는 없어요.

위 그림의 경우처럼 공역은 {1, 2, 3, 4, 5} 이고 치역은 {1, 2, 4, 5} 이므로 치역≠공역이지만 일대일함수는 맞습니다.

 

그럼 일대일대응이 되기 위해 치역과 공역이 같아야하는건 무슨 뜻일까요?

치역이란 대응된 함수값들의 모임, 공역은 함수값이 될 수 있는 값들이 모임이예요. 비슷한 것 같지만 다르답니다.

다시 아까 그림을 살펴보면,

 

치역과 공역이 다르다는 걸 알 수 있어요. 그럼 치역과 공역이 같은 그림은 뭘까요?

바로 이런 그림이예요. 공역인 집합 Y의 원소가 남지 않고 모두 집합 X의 원소로부터 대응(화살표시받음)되어 있어요. 

 

왜 일대일대응 조건이 중요할까요? 그건 바로 역함수가 존재하기 위한 조건 = 일대일대응 조건 이기 때문입니다.

 

다음 문제를 함께 풀어보도록 하겠습니다. 

(1)는 일대일함수는 맞지만, 치역과 공역이 다르기 때문에 '일대일대응'이 아니예요. 따라서 역함수도 존재하지 않아요. 

(2)는 일대일함수가 아니므로 일대일대응이 아니예요. 일대일함수와 일대일대응은 다르다는 것을 주의하셔야 합니다. 

(3)는 일대일함수를 만족하고, 치역과 공역이 같아요. 따라서 일대일대응이며 역함수가 존재합니다(정답)

(4)는 일대일함수를 만족하고, 치역과 공역이 같아요. 역함수가 존재해요(정답)

 

따라서 모두 고르면 (3), (4) 이 정답이예요.

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