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고등 수학II > 도함수의 활용 > 도함수의 활용 연습문제 프린트 학습지

고등 수학의 "도함수의 활용" 단원에서는 미분된 함수인 도함수를 활용하여 다양한 문제를 해결하는 방법을 다룹니다. 도함수의 활용은 함수의 그래프의 특성, 변화율, 극값과 최솟값, 최댓값 등을 분석하고 예측하는 데에 유용합니다.

도함수를 사용하여 함수의 극값과 최솟값, 최댓값을 구할 수 있습니다. 극값은 함수의 극솟값과 극댓값을 의미하며, 도함수의 값이 0인 지점에서 발생할 수 있습니다. 최솟값과 최댓값은 함수의 구간에서 가장 작은 값과 가장 큰 값을 의미하며, 도함수를 이용하여 이러한 지점을 찾을 수 있습니다.

또한, 도함수를 사용하여 함수의 변화율을 분석할 수 있습니다. 변화율은 함수의 기울기로 나타나며, 도함수의 값이 양수이면 함수가 증가하고, 음수이면 함수가 감소함을 알 수 있습니다. 변화율을 통해 함수의 증가 및 감소 구간, 극값의 위치 등을 파악할 수 있습니다.

이제 연습문제를 통해 도함수의 활용에 대한 문제와 풀이를 제공하겠습니다.

문제 1: 함수 f(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 1의 극값과 최솟값, 최댓값을 구하세요.

풀이 1: 주어진 함수 f(x)의 도함수를 구하고, 도함수가 0인 지점에서의 x 값을 찾으면 됩니다. 도함수인 f'(x) = 6x² - 6x + 4을 구하고, 이를 0으로 놓고 x를 구하면 됩니다. f'(x) = 0을 만족하는 x 값은 해가 없으므로 극값이나 최솟값은 존재하지 않습니다. 따라서, 주어진 함수의 최댓값이 존재하지 않습니다.

문제 2: 함수 g(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1에서 x = 1에서의 변화율을 구하세요.

풀이 2: 주어진 함수 g(x)의 도함수를 구하고, x = 1에서의 도함수의 값을 계산하면 됩니다. 도함수인 g'(x) = 4x³ - 12x² + 12x - 4을 구하고, x = 1을 대입하여 계산하면 g'(1) = 4(1)³ - 12(1)² + 12(1) - 4 = -4입니다. 따라서, x = 1에서의 변화율은 -4입니다.

문제 3: 함수 h(x) = x³ - 9x² + 24x의 극값을 구하세요.

풀이 3: 주어진 함수 h(x)의 도함수를 구하고, 도함수가 0인 지점에서의 x 값을 찾으면 됩니다. 도함수인 h'(x) = 3x² - 18x + 24을 구하고, 이를 0으로 놓고 x를 구하면 됩니다. h'(x) = 0을 만족하는 x 값을 구하면 x = 2 또는 x = 4입니다. 이를 함수 h(x)에 대입하여 계산하면, h(2) = 4, h(4) = 8입니다. 따라서, 함수 h(x)의 최솟값은 4이고, 최댓값은 8입니다.

위의 문제들은 도함수의 활용에 대한 예시 문제입니다. 도함수를 이용하여 함수의 극값, 최솟값, 최댓값을 구하고, 변화율을 계산하는 연습을 할 수 있습니다.

 

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